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吴国平:难学上天的微积分是如何被创立的

[日期:2017-06-14] 来源:三亚二中  作者:2017-06-14 10:33 [字体: ]
起源:吴国平

原题目:吴国平:难学上天的微积分是如何被创立的

人类对自然、社会、本身等各方面的认识素来没有结束过,也不会永远止步。如微积分这门学科的呈现就是很好的证明,它让人类认识自然社会的视角从有限到无限,再从无限回到有限,使整个人类文明实现质的奔腾。

说到微积分,许多人多多少少都会懂得或学习到一些,如二次函数当中求最值问题(最大值和最小值),就是属于微积分一类。

对于很多人来说,假如加入工作后不从事数学相关工作,也许就很少运用微积分数学知识,但其中的极限思想却会影响我们的思考和行为。能够这么说,虽然微积分这门学科在几百年前就已经创立,发展起来,但时至今天很多人连懂得都成困难,更别说掌握了。

学习微积分给人类思维发展提供了一个很好的思想锤炼机遇,二次函数的图象是一条抛物线,这条曲线向两端无限延长,但同时又亲近最高抵或最低点。体现微积分精华之一,研究对象从有限到无限,又从无限回到有限。微积分这样的思维方法是一种数学的方法,体现数学的哲学思辨、逻辑性、系统性思考方法。

其实微积分的应用已经是非常广泛,如在经济学、治理学、银行、金融、财会上等各方面,微积分处处都起着重要的作用。同时微积分也渗入和影响其余学科的发展,如对物理、天文等学科学生来说,微积分也是必学知识之一。

因此,今天我们就一起来简单了解一下微积分的发展历史,让更多人认识到这一门学科的重要性。

微积分是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支,属于数学的一个基础学科。

微积分主要内容包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论,它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行探讨。

积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等供给一套通用的办法。

绝不夸大的说微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,如从前很多无法用初等数学知识解决的问题,一旦运用微积分知识,这些问题往往就变得简略。

人类进入17世纪以来,随着社会的先进和科技技巧以及生产力的发展,当时很多数学知识已经无法适应和支撑社会的发展。因此,基于当时社会发展的需要,各行各业对数学知识也提出更高的要求,如当时航海、天文、矿山建设等各方面存在许多问题要解决。

之后这些问题直接增进数学开端研究变化着的量(变量),数学进入了“变量数学”时代,天然也就成了促使微积分产生的因素。总的来说归纳起来,大概有以下四种主要类型的问题:

一、运动中速度与距离的互求问题

已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数,求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来,已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式,求速度和距离。这类问题是研究运动时直接涌现的,艰苦在于,所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。

二、求曲线的切线问题

这个问题自身是纯几何的,而且对于科学应用有宏大的重要性。由于研究天文的需要,光学是十七世纪的一门较重要的科学研究,透镜的设计者要研究光芒通过透镜的通道,必需知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律,这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角,而法线是垂直于切线的,所以老是就在于求出法线或切线;另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中,求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向,即轨迹的切线方向。

三、求长度、面积、体积、与重心问题等

这些问题包含,求曲线的长度(如行星在已知时期移动的距离),曲线围成的面积,曲面围成的体积,物体 的重心,一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。实际上,关于盘算椭圆的长度的问题,就难住数学家们,以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了,直到下一世纪才得到新的成果。

四、求函数的最大值和最小值问题

例如炮弹在炮筒里射出,它运行的程度距离,即射程,依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。一个“实际”的问题是:求可以射出最大射程的发射角。十七世纪初期,Galileo判断(在真空中)发射角是45度时达到最大射程;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所到达的不同的最大高度。研究行星的运动也波及到最大值和最小值的问题。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大批的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了奉献。十七世纪下半叶,英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人工作的基础上,分离在本人的范畴里单独研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是非常初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题接洽在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。

微积分在17世纪左右正式成为一门学科,成为数学的分支,但实际上积分的思维在古代早就已经产生了。作为微分学基础的极限实践来说,早在古代实在已经有比较清晰的阐述,如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时代的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴实的、也是很典型的极限概念。还有是在公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。

虽然人们已经充足认识到微积分重要作用,但在提出谁是这门学科的创立者的时候,却造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对峙。那时候,由于民族成见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

牛顿和莱布尼茨分别是自己独自进行独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。值得一提的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右,但是正式公然发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。两个人都是伟人,为微积分发展做出重要贡献,唯一差别就是研究方向各有优点,也都各有短处。

固然牛顿和莱布尼茨确立了微积分的出生,但在一些方面也存在缺陷。这些基本方面的缺点,终极导致了第二次数学危机的发生。

直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了当真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚决基础。

极限理论的创建使得微积分从此树立在一个严密的剖析基础之上,它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

惋惜的是,虽然在中世纪是欧洲数学大发展的时期,但我国基本处于停滞状态(明、清时期),因此当时我国的数学家与微积散发展根本无缘。

进入20世纪以来,华侨数学大师陈省身在微分几何领域,利用微积分的理论来研究几何,这门学科对人类认识时间和空间的性质施展着伟大的作用,并且这门学科至今依然很活泼。

中国的数学喜好者发现了积乘和微商,使微积分的内容进一步拓展。

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